Un modello è un'astrazione selettiva della realtà - Albert Einstein
Un modello matematico è un modello costruito usando il linguaggio e gli strumenti della matematica. Come tutti gli altri modelli usati nella scienza, il suo scopo è quello di rappresentare il più possibile fedelmente un determinato oggetto o fenomeno reale.
Tutti i settori della scienza fanno largo uso di modelli matematici per descrivere determinati aspetti del mondo reale. Gli strumenti matematici usati possono essere i più disparati, dalla combinatoria al calcolo infinitesimale.
Un modello matematico è spesso costruito con lo scopo di fornire previsioni sullo 'stato' futuro di un fenomeno o di un sistema fisico. Spesso i termini 'modello' e 'sistema' sono interscambiabili dal punto di vista matematico-formale.
Generalmente, il modello descrive la probabile evoluzione di un fenomeno o di un sistema fisico sulla base di dati iniziali (condizioni iniziali) forniti dall'utente (l'input) restituendo dei dati finali (output).
L'efficacia del modello può essere quindi misurata comparando i dati finali con il risultato effettivo osservato dell'evoluzione del fenomeno o del sistema.
Ad esempio, modelli matematici più o meno complessi vengono continuamente proposti e testati in meteorologia, in trattazioni ambientali, in economia. Spesso il modello è una rappresentazione sintetica del fenomeno o del sistema in oggetto ovvero scevra di dettagli e particolari superflui all'analisi desiderata.
La stesura di un modello matematico abbraccia moltissimi campi della scienza pura e applicata proprio perché consente il superamento della semplice trattazione qualitativa per ottenere invece una trattazione quantitativa del fenomeno o del sistema in oggetto adatta per un uso più accurato e specifico come la prognosi futura.
Una classe importante di modelli è data dalle equazioni o sistemi di equazioni differenziali, ordinarie o alle derivate parziali. Ad esempio, un insieme di equazioni differenziali può descrivere la struttura di un ponte e le forze che su di esso sono esercitate e sulla base di esse il progettista può anticipatamente prevedere gli sforzi o sollecitazioni a cui sarà sottoposta la struttura interna del ponte. Oltre alla statica e dinamica delle strutture in ingegneria civile, altri campi importanti di applicazione delle equazioni differenziali sono la teoria dei circuiti e i sistemi dinamici in generale.
Si distinguono modelli (sistemi) deterministici (l'uscita è univocamente determinata dall'ingresso) e modelli (sistemi) stocastici, modelli lineari e modelli non-lineari.
Spesso in macrosistemi a molti gradi di libertà come quello ambientale quello climatico il ricorso ai modelli matematici, nella forma di sistemi di equazioni multivariabili, è una necessità stringente vista l'impossibilità di studiare il sistema riproducendolo in laboratorio: in questo senso il rigore dell'approccio scientifico 'galileiano' di stampo induttivo-sperimentale è garantito da 'laboratori virtuali' ovvero dai supercalcolatori su cui viene fatto girare il modello matematico, eventualmente validato sulla scorta dei dati passati, e dal cui output emergono le proprietà cercate del sistema studiato.
Dipendenza dai dati iniziali
Un aspetto cruciale, che incide notevolmente sulla capacità di previsione di un modello matematico di un sistema (nella forma di equazione differenziale) è la dipendenza sensibile dai dati iniziali. Se una piccola variazione dell'input produce una forte variazione dell'output, la creazione di un modello 'efficiente' sul fronte della previsione risulta essere enormemente più complessa, e le previsioni a lungo termine possono risultare intrinsecamente impossibili. Si parla in questo caso di sistema o modello non-lineare e un fenomeno con forte dipendenza dai dati iniziali, riassunto nel concetto di effetto farfalla, è detto ' caotico ' sebbene possa essere per sua natura intrinsecamente deterministico. In un sistema di questo tipo, l'errore sulla previsione futura cresce esponenzialmente nel tempo. La disciplina che studia questi fenomeni è la dinamica non-lineare che rientra nella teoria del caos. In realtà anche semplici sistemi lineari possono manifestare questa sensibilità alle condizioni inziali pur non essendo per loro natura caotici.
Ad esempio, i fenomeni meteorologici ed ambientali sono generalmente caotici: per questo motivo, una previsione a lungo termine offre termini di aletorietà.
I pianeti del sistema solare si muovono invece in modo non caotico (almeno in prima approssimazione): per questo motivo è possibile prevedere eclissi con secoli d'anticipo.
Con modello fisico si intende, in fisica ma anche in altri settori della conoscenza, una rappresentazione concettuale (spesso una semplificazione) del mondo reale o di una sua parte, capace di spiegarne il funzionamento.
In fisica, o comunque nella scienza in genere, si parla di modelli fisici che descrivono i fenomeni reali. Tali modelli, spesso basati su ipotesi concettuali, si adattano a descriverne campi più o meno vasti del mondo fisico. Alcuni modelli si adattano più di altri ad un determinato campo.
